Question

12．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$+4x+m
（1）若函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为-1，求f（x）在区间[-2，0]上的最大值；
（2）若函数f（x）有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，求出m的值，从而求出函数的最大值即可；
（2）求出函数的单调区间，求出函数的极值，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=-x²+3x+4=-（x-4）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-1，
故f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，0]递增，
∴f（x）_min=f（-1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$-4+m=-1，解得：m=$\frac{7}{6}$；
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²+4x+$\frac{7}{6}$，
∵f（-2）=$\frac{11}{6}$，f（0）=$\frac{7}{6}$，f（2）＞f（0），
∴f（x）在[-2，0]上的最大值是$\frac{11}{6}$；
（2）∵f′（x）=-（x+1）（x-4），
∴f（x）在（-∞，-1），（4，+∞）递减，在（-1，4）递增，
∴f（x）_极大值=f（4）=$\frac{56}{3}$+m，f（x）_极小值=f（-1）=-$\frac{13}{6}$+m，
要使f（x）有3个零点，则应满足：
$\left\{\begin{array}{l}{f（4）=\frac{56}{3}+m＞0}\\{f（-1）=-\frac{13}{6}+m＜0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{56}{3}$＜m＜$\frac{13}{6}$，
∴m的范围是（-$\frac{56}{3}$，$\frac{13}{6}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．