Question

17．已知函数f（x）=m（x-1）e^x+x²（m∈R）．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x＜0，不等式x²+（m+2）x＞f'（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，令h（x）=me^x-x-m，通过讨论m的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=-1时，f（x）=-（x-1）e^x+x²，则f'（x）=x（2-e^x）．
由f'（x）＞0得0＜x＜ln2，
由f'（x）＜0得x＜0或x＞ln2，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，ln2），单调递减区间为（-∞，0），（ln2，+∞）（4分）
（Ⅱ）依题意，$f'（x）=mx（{{e^x}+\frac{2}{m}}）$＜x²+（m+2）x，
即x（me^x-x-m）＜0（5分）∵x＜0，∴me^x-x-m＞0，（6分）
令h（x）=me^x-x-m，则h'（x）=me^x-1，（7分）
当m≤1时，h'（x）≤e^x-1＜0，则h（x）在（-∞，0）内单调递减，
所以h（x）＞h（0）=0，符合题意                        （9分）
当m＞1时，h（x）在（-∞，-lnm）内单调递减，在（-lnm，0）内单调递增，
所以h（x）_min=h（-lnm）＜h（0）=0，不符合题意．       （11分）
综上所述，m的取值范围为（-∞，1]（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．