Question

如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，，.

（1）证明：∥面；
（2）求面与面所成锐角的余弦值.

Answer 1

(1)见解析；（2）.

解析试题分析：（1）(1) 利用三角形中位线定理，得出∥ .
（2）利用平几何知识，可得一些线段的长度及，进一步以为轴建立坐标系，
得到，
确定面与面的法向量、：
由，可得令；
由又，可得令，进一步得到.
本题首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.
解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.
试题解析：(1)因为、分别为、的中点，
所以∥        2分
因为面，面
所以∥面        4分
（2）因为
所以
又因为为的中点
所以
所以
得，即     6分
因为，所以
分别以为轴建立坐标系
所以
则   8分
设、分别是面与面的法向量
则，令
又，令     11分
所以     12分

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.