Question

16．已知抛物线C：y=2x²和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．
（1）求证：l与C必有两交点；
（2）设l与C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，且直线OA和OB的斜率之和为1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，利用根的判别式能证明l与C必有两交点．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，设l与C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出k的值．

解答 证明：（1）抛物线C：y=2x²和直线l：y=kx+1，O为坐标原点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，
△=（-k）²+8=k²+8＞0，
∴l与C必有两交点．
解：（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得2x²-kx-1=0，
△=（-k）²+8=k²+8＞0，
设l与C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
∵直线OA和OB的斜率之和为1，
∴k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+1）+{x}_{2}（k{x}_{1}+1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2k×（-\frac{1}{2}）+\frac{k}{2}}{-\frac{1}{2}}$=1，
解得k=1．

点评 本题考查直线与抛物线必有两个交点的证明，考查直线的斜率的求法，考查抛物线、韦达定理、直线的斜率公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．