Question

6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA、PB、PC两两互相垂直，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为8．

Answer 1

分析 由已知，三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．

解答 解：∵PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴16=PA²+PB²+PC²，
则由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即16=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=$\frac{1}{2}$（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤8，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为8，当且仅当PA=PB=PC时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．