Question

1．已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=a，E、F分别是边AB、CD的中点．若直线EF被四棱锥的外接球截得的线段长为2$\sqrt{2}$，则该球的体积为4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 由题意四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的体积公式，即可得到该球体积．

解答 解：由题意四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．
设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG
根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2$\sqrt{2}$，即正方体面对角线长也是2$\sqrt{2}$，
∴得AG=$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴正方体棱长a=2
∴Rt△OGA中，OG=$\frac{1}{2}$a=1，AO=$\sqrt{3}$，
即外接球半径R=$\sqrt{3}$，得外接球的体积为$\frac{4}{3}$πR³=4$\sqrt{3}$π．
故答案为：4$\sqrt{3}$π．

点评 本题主要考查求外接球的体积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．