Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠ACE，CE=BD，
求证：（1）△ADE也为等腰直角三角形；
（2）BD⊥CE．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出△ABD≌△ACE，从而得到AD=AE，∠EAC-∠CAD=∠DAB-∠CAD，进而∠EAD=∠CAB=90°，由此能证明△ADE为等腰直角三角形．
（2）由已知∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=90°，∠DBC+∠BCE=90°，由此能证明BD⊥CE．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，CE=BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC-∠CAD=∠DAB-∠CAD，
∠EAD=∠CAB=90°，
所以△ADE为等腰直角三角形；
（2）证明：∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=90°，
∠ABD=∠ACE，
（∠ABC-∠ABD）+（∠ACB+∠ACE）=90°，
∠DBC+∠BCE=90°，
∠BFC=180°-（∠DBC+∠BCE）=90°，
∴BD⊥CE．

点评 本题考查三角形是等腰直角三角形的证明，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意三角形全等的性质的合理运用．