Question

9．已知以y=±$\sqrt{3}$x为渐近线的双曲线D：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，若P为双曲线D右支上任意一点，则$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用y=±$\sqrt{3}$x为渐近线可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a，利用0＜$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$≤$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线D：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线是y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，可得b=$\sqrt{3}$a，c=2a
∵P为双曲线D右支上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
而|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c
∴0＜$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$≤$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$
∵c=2a，
∴$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．
故$\frac{{|P{F_1}|-|P{F_2}|}}{{|P{F_1}|+|P{F_2}|}}$的最大值是$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．