Question

5．已知$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{7}{25}$，x∈（0，π），则sinx=$\frac{{17\sqrt{2}}}{50}$．

Answer 1

分析 由已知求得$x+\frac{π}{4}$的范围，进一步求出sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，再由sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]展开两角差的正弦得答案．

解答 解：∵x∈（0，π），∴$x+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$），
又$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{7}{25}$，∴$x+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）．
则sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（x+\frac{π}{4}）}=\sqrt{1-（\frac{7}{25}）^{2}}=\frac{24}{25}$．
∴sinx=sin[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故答案为：$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．