Question

【题目】如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是上的点．

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或

【解析】

(1)根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.

（1）连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，

是的中点，，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．

（2）

以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，

则，设，则，又，

设是平面的一个法向量，则 ，

取，得，

设直线与平面所成角为，由，得：

．

化简得：，解得或，

故存在点满足题意，此时为或．