Question

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＜0时，f（x）＞0，且f（1）=-3．
（1）求f（0）；
（2）判断函数f（x）的单调性，并运用单调性的定义证明；
（3）求函数f（x）在[-2，3]上的最大值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在题中所给函数关系式中取x=y=0，化简即可计算出f（0）的值等于0；
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据题中运算法则化简得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），结合当x＞0时f（x）＜0证出f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数；
（3）根据函数的单调性和函数的奇偶性，即可求出函数f（x）在[-2，3]上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0…（3分）
∵x＜0时，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0…（4分）
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]…（5分）=f（x₁-x₂）+f（x₂）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）…（6分）
∴函数f（x）在R上是单调递减函数                   …（7分）
（3）∵f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0…（9分）
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数               …（10分）
∴f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-[f（1）+f（1）]=6…（12分）
∵由（2）知函数f（x）在R上是单调递减函数
∴函数f（x）在[-2，3]上的最大值f（x）_max=f（-2）=6…（14分）

点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的单调，最值，着重考查了函数的单调性、奇偶性等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．