Question

8．已知f（x）=$\frac{mx}{{x}^{2}+n}$（x∈R），若方程f（x）-$\frac{3}{25}x$-$\frac{12}{25}$=0有两个根1和4．
（1）求m、n的值及f（x）的值域；
（2）若F（x）=k•f（x）+6，对于任意实数a、b、c，都存在一个以F（a）、F（b）、F（c）的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据方程的根为1，4计算f（1），f（4）列方程解出m，n，即可得出f（x）的解析式；根据f（x）的奇函数性质求出值域；
（2）根据f（x）的值域得出F（x）的值域，由题意可知2F_min（x）＞F_max（x），且F_min（x）＞0．列方程组求出k的范围．

解答 解：（1）∵方程f（x）-$\frac{3}{25}x$-$\frac{12}{25}$=0有两个根1和4，
∴f（1）=$\frac{3}{5}$，f（4）=$\frac{24}{25}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{1+n}=\frac{3}{5}}\\{\frac{4m}{16+n}=\frac{24}{25}}\end{array}\right.$，解得m=6，n=9．
∴f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+9}$．
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，f（x）=$\frac{6x}{{x}^{2}+9}$=$\frac{6}{x+\frac{9}{x}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{x•\frac{9}{x}}}$=1，且f（x）＞0，
∴0＜f（x）≤1．
∵f（-x）=$\frac{-6x}{{x}^{2}+9}$=-f（x），∴f（x）是奇函数．
∴f（x）的值域为[-1，1]．
（2）∵F（x）=kf（x）+6，f（x）的值域为[-1，1]，
∴F（x）的值域为[-|k|+6，|k|+6]，
∵对于任意实数a、b、c，都存在一个以F（a）、F（b）、F（c）的三角形，
∴2F_min（x）＞F_max（x），且F_min（x）＞0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-2|k|＞6+|k|}\\{6-|k|＞0}\end{array}\right.$，解得0≤|k|＜2
∴-2＜k＜2．

点评 本题考查了函数的解析式，值域的求法，不等式的解法，属于中档题．