Question

20．若函数f（x）=x³+3ax-1在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，则实数a=1；
当a≤0时，若方程f（x）=15有且只有一个实根，则实数a的取值范围为-$\root{3}{16}$＜a≤0．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为曲线在x=1的切线与y=6x+6平行，得到切线与y=6x+6的斜率相等，由y=6x+6的斜率为6，得到切线的斜率也为6，然后把x=1代入导函数，令求出的函数值等于6列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³+3ax-1，得到f′（x）=3x²+3a，
因为曲线在x=1处的切线与y=6x+6平行，
而y=6x+6的斜率为6，
所以f′（1）=6，即3+3a=6，解得a=1；
（2）令g（x）=x³+3ax-16，
g′（x）=3x²+3a=3（x²+a），
a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R递增，
而x→-∞时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞，
故函数g（x）有且只有一个零点，
即方程f（x）=15有且只有一个实根，
a＜0时，令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{-a}$或x＜-$\sqrt{-a}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\sqrt{-a}$＜x＜$\sqrt{-a}$，
则g（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$）递增，在（-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$）递减，在（$\sqrt{-a}$，+∞）递增，
故g（x）极大值=g（-$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{-a}$+3a$\sqrt{-a}$-16＜0，
解得：a＞-$\root{3}{16}$，
综上：-$\root{3}{16}$＜a≤0，
故答案为：1，-$\root{3}{16}$＜a≤0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．