Question

7．设两条直线的方程分别为x+$\sqrt{3}$y+a=0，x+$\sqrt{3}$y+b=0，已知a，b是方程x²+2x+c=0的两个实根，且0≤c≤$\frac{1}{2}$，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为（　　）

• A． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{4-\sqrt{14}}}{4}$

Answer 1

分析 a，b是方程x²+2x+c=0的两个实根，利用根与系数的关系及其0≤c≤$\frac{1}{2}$，可得|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$，即可得出两条平行直线的距离，进而得出．

解答 解：∵a，b是方程x²+2x+c=0的两个实根，
∴a+b=-2，ab=c．
又0≤c≤$\frac{1}{2}$，
∴|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{4-4c}$∈[$\sqrt{2}$，2]．
两条平行直线的距离d=$\frac{|a-b|}{2}$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴这两条平行直线之间的距离的最大值和最小值的差=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．