Question

15．已知定角∠AOB=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），点P在OA上，点Q在OB上，且△POQ的面积为8，设PQ中点为M，求|OM|的最小值．

Answer 1

分析 设OP=x，OQ=y，则由三角形的面积得y=$\frac{16}{xsinα}$，由向量加法的平行四边形法则可知$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OQ}$．两边平方即可将|OM|²表示成x的函数，根据基本不等式求出最小值．

解答 解：设OP=x，OQ=y，则$\frac{1}{2}xysinα$=8，∴xy=$\frac{16}{sinα}$，y=$\frac{16}{xsinα}$．
∵PQ中点为M，∴$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$，
∴4${\overrightarrow{OM}}^{2}$=${\overrightarrow{OP}}^{2}+{\overrightarrow{OQ}}^{2}+2\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x²+y²+2xycosα=x²+$\frac{256}{{x}^{2}si{n}^{2}α}$+$\frac{32cosα}{sinα}$．
∵x²+$\frac{256}{{x}^{2}si{n}^{2}α}$+$\frac{32cosα}{sinα}$≥2$\sqrt{\frac{256}{si{n}^{2}α}}$+$\frac{32cosα}{sinα}$=$\frac{32（1+cosα）}{sinα}$=32cot$\frac{α}{2}$．
∴${\overrightarrow{OM}}^{2}$≥8cot$\frac{α}{2}$．
∴$|\overrightarrow{OM}|$≥2$\sqrt{2cot\frac{α}{2}}$．
即|OM|的最小值为2$\sqrt{2cot\frac{α}{2}}$．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，用$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}$表示出$\overrightarrow{OM}$是解题关键，属于中档题．