Question

2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3，东经103.0）发生7.0级地震．一方有难，八方支援，重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动．其中重庆某医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组，奔赴受灾第一线参与救援．现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的芦山、宝山、天全三县中的某一个．
（1）求每个县至少分配到一名医生的概率；
（2）若将随机分配到芦山县的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

分析：（1）每一位医生都有3种分配方法，因此5名医生共有3⁵种分配方法．设A表示事件“每个县至少分配到一名医生”，则A包括以下两种分配方案：1，1，3；2，2，1．
其中1，1，3型共有

C 3 5 C 1 2 C 1 1 A 3 3

2!

，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有

C 1 5 C 2 4 C 2 2 A 3 3

2!

方法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．
（2）因为每一为医生分配到三个地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，

1

3

)，故P(ξ=i)=

C

i 5

(

1

3

)i(

2

3

)5-i，(i=0，1，2，…，5)，再利用Eξ=np，Dξ=np（1-p）即可得出所求．

解答：解：（1）每一位医生都有3种分配方法，因此5名医生共有3⁵种分配方法．设A表示事件“每个县至少分配到一名医生”，则A包括以下两种分配方案：1，1，3；2，2，1．其中1，1，3型共有

C 3 5 C 1 2 C 1 1 A 3 3

2!

，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有

C 1 5 C 2 4 C 2 2 A 3 3

2!

方法．
∴事件A的概率P=

C 3 5 A 3 3 + C 1 5 C 2 4 A 2 2 A 3 3

35

=

50

81

（2）因为每一为医生分配到三个地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，

1

3

)，故P(ξ=i)=

C

i 5

(

1

3

)i(

2

3

)5-i，(i=0，1，2，…，5)
故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

∴Eξ=np=5×

1

3

=

5

3

，Dξ=np(1-p)=5×

1

3

×

2

3

=

10

9

点评：本题考查了含有“均分”问题的古典概型的概率计算、二项分布的数学期望及其方差的计算，属于难题．