Question

已知，函数，．
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；
（2）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．

Answer 1

（1），或；（2）.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，由于与在处的切线互相垂直，所以两条切线相互垂直，即斜率相乘得-1，对和求导，将1代入得到两切线的斜率，列出方程得出a的值；第二问，先将“对任意的，且，都有”转化为“对任意的，且，都有”，令，则原命题等价于在是增函数，对求导，判断导数的正负，决定函数的单调性.
（1），．
，．
依题意有，
可得，解得，或 ．　　　　    ６分
（2）．
不妨设，
则等价于，
即．
设，
则对任意的，且，都有，
等价于在是增函数．
，
可得，
依题意有，对任意，有．
由，可得．     13分