Question

已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．

Answer 1

（1）在上递减，在上递增；（2）（3）

试题分析：（1）时，。先求导并通分整理，再令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间。（2）先求导，因为函数在处取得极值，则，可得的值。对,恒成立等价于恒成立，令，求导，讨论导数的符号，可得函数的单调性，根据单调性可得函数的最值，则。（3），令，因为则只要证明在上单调递增。即证在上恒成立。将函数求导，分析其导数的单调性，根据其单调性求最值，证得即可。
（1）
得0<x<,得x>
∴在上递减，在上递增.
（2）∵函数在处取得极值，∴，  
∴，   
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即.
（3）证明：，
令，则只要证明在上单调递增，
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有.