Question

2．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，且对称轴方程为x=1，与y轴的交点坐标为（0，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若点P（x，y）是此二次函数图象上任意一点，求u=y²+（x-1）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知与x轴的交点坐标为（4，0），（-2，0），c=8，根据韦达定理即可求出a，b的值，
（2）u=y²+（x-1）²=[（x-1）²-9]²+（x-1）²，令t=（x-1）²，得到f（t）=（t-9）²+t=t²-17t+81=（t-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{35}{4}$，继而求出u的最小值．

解答 解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，且对称轴方程为x=1，与y轴的交点坐标为（0，8）．
∴与x轴的交点坐标为（4，0），（-2，0），c=8，
∴4+（-2）=-$\frac{b}{a}$，4×（-2）=$\frac{8}{a}$，
∴a=-1，b=2，
∴f（x）=-x²+2x+8，
（2）点P（x，y）是此二次函数图象上任意一点，
∴u=y²+（x-1）²=（-x²+2x+8）²+（x-1）²=[（x-1）²-9]²+（x-1）²，
令t=（x-1）²，
∴f（t）=（t-9）²+t=t²-17t+81=（t-$\frac{17}{2}$）²+$\frac{35}{4}$，
∴当t=$\frac{17}{2}$，f（t）有最小值，即为$\frac{35}{4}$，
∴u=y²+（x-1）²的最小值是$\frac{35}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法和二次函数的最值，关键是换元，属于中档题．