Question

12．如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{45}{4}$πcm²
• B． 45πcm²
• C． 54πcm²
• D． 216πcm²

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图得到直观图，求出外接球的半径，进一步求球的表面积．

解答 解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P-ABC，
直观图如图所示：
D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PB=BD=3，所以AB=BC=3$\sqrt{2}$；
∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，所以三棱锥外接球的直径为$\sqrt{P{B}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
所以外接球的半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，表面积为4$π（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}$=45π；
故选B．

点评 本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查了空间想象能力．