Question

5．已知P（2，1）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1内一点，椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆以P为中点的弦所在直线方程是16x+9y-41=0．．

Answer 1

分析 设以P为中点的弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，作差法求出K_AB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，根据$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，求出k的值，从而求出直线方程即可．

解答 解：设以P为中点的弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵A、B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的点，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1②，
①-②得：$\frac{{（x}_{1}{+x}_{2}）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）{（y}_{1}{-y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{b}^{2}}$，
∴K_AB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8}{9}$，
∴K_AB=-$\frac{16}{9}$，
故直线AB的方程是：16x+9y-41=0，
以P为中点的弦所在直线方程是：
16x+9y-41=0，
故答案为：16x+9y-41=0．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．