Question

20．如图．四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．
求证：平面PCD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 证明CD⊥BD，利用PB⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，证明PB⊥CD，可得CD⊥平面PBD，即可证明平面PCD⊥平面PBD．

解答 证明：∵四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵PB=3，∴BC=6，
∵ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，
∴∠ABD=∠ADB=45°，BD=3$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{36+18-2×6×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BC²=CD²+BD²，
∴CD⊥BD，
∵PB⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PB⊥CD，
∵BD∩PB=B，
∴CD⊥平面PBD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PBD．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，证明CD⊥平面PBD是关键．