Question

已知圆O的半径为R，圆内一定点M且|MO|=

R

2

，一直线过点M且与该圆交于A，B 两点，则△OAB面积的最大值为

3 R2

4

．

Answer 1

分析：以OM为y轴，建立直角坐标系，过点O作OD⊥AB，交AB于D，设直线AB的方程为y=kx+

R

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△OAB面积S=

1

2

OM×|x₁-x₂|=

R

4

×|x₁-x₂|然后联立直线与圆的方程，求出|x₁-x₂|的最大值即可求出所求．

解答：解：以OM为y轴，建立直角坐标系M（0，

R

2

）
过点O作OD⊥AB，交AB于D
设直线AB的方程为y=kx+

R

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则△OAB面积S=

1

2

OM×|x₁-x₂|=

R

4

×|x₁-x₂|

y=kx+ R 2 x2+y2=R2

则x2+(kx+

R

2

)2=R2
∴（1+k²）x²+kRx-

3R2

4

=0
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

4k2R2+3R2

(1+k2)2

=

4R2

k2+1

-

R2

(1+k2)2

∴当k=0时|x₁-x₂|取最大值即S=

3 R2

4

故答案为：

3 R2

4

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及函数的最值及其几何意义，同时考查了利用解析法求最值，属于中档题．