Question

已知圆O的半径为R，它的内接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB成立，求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析：利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，化简整理求得a，b和c的关系，继而代入余弦定理cosC中求得cosC的值，利用同角三角函数基本关系求得sinC，则利用三角形面积公式表示三角形的面积化简整理，根据A的范围确定面积的最大值．

解答：解：由已知得(2R)2(sin2A-sin2C)=2RsinB(

2

a-b)，
即a2-c2=

2

ab-b2．
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

2

，
∴C=

π

4

．S=

1

2

absinC=

2

4

ab=

2

4

•4R2sinAsinB=

2

R2sinAsin(

3π

4

-A)
=

2

R2sinA(

2

2

cosA+

2

2

sinA)=R2(sinAcosA+sin2A)
=R2(

1

2

sin2A+

1-cos2A

2

)=R2[

2

2

sin(2A-

π

4

)+

1

2

]≤

1+ 2

2

R2
∴当A=

3π

8

时，面积S有最大值

1+ 2

2

R2．

点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．