Question

20．政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．
方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．
方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.3，1.02⁹=1.20，1.02¹⁰=1.22）．
（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？
（2）10年后，哪一种方案的利润较大？

Answer 1

分析 （1）方案1是等比数列，方案2是等差数列，利用求和公式，可得结论；
（2）计算银行贷款本息，可得纯利，即可得出哪一种方案的利润较大．

解答 解：（1）方案1是等比数列，方案2是等差数列，
①方案1，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，即4万元
获利：4[1+（1+25%）+（1+25%）²+…+（1+25%）⁹]=4×$\frac{1.2{5}^{10}-1}{0.25}$=132.8（万元），
银行贷款本息：40（1+2%）¹⁰≈48.8（万元），
方案2，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，即3万元
获利：3+（3+1.5）+（3+2×1.5）+…+（3+9×1.5）
=10×3+$\frac{10×9}{2}×1.5$=97.50（万元）；
（2）方案1，银行贷款本息：40（1+2%）¹⁰≈12.2（万元），
故方案1纯利：132.8-48.8=84（万元）．
方案2，银行贷款本息：20（1+2%）¹⁰≈24.4（万元），
故方案2纯利：97.50-24.4=73.1（万元）．
∴方案1的利润较大．

点评 这是一道比较常见的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．