Question

12．已知sinαtanα=$\frac{3}{2}$，且0＜α＜π．
（1）求α的值；
（2）求函数f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得α的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵sinαtanα=$\frac{3}{2}$，∴2sin²α=3cosα，即 2cos²α+3cosα-2=0，求得cosα=$\frac{1}{2}$，或cosα=-2（舍去）．
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{3}$．
（2）函数f（x）=4cosxcos（x-α）=4cosx[cosx•$\frac{1}{2}$+sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[1，2]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[2，3]，
故函数f（x）的值域为[2，3]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．