Question

【题目】已知，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求导可得，进而可得极值点为或.再讨论与的大小关系，进而求得单调区间即可；

（2）先求解两个极值与，再讨论根据分，与，结合分析极值满足的关系列式求解满足的不等式，化简即可.

（1），

当时，或.

当时，，

所以或时，，从而在，上单调递增；

当时，，从而在上单调递减；

当时，，所以，从而在上单调递增；

当时，，

所以或时，，从而在，上单调递增；

当时，，从而在上单调递减.

（2），.

由（1）得，当时，，,

所以仅在上有一个零点，因此时成立；

当时，，所以在上仅有一个零点1.

当时，，所以要满足题设有，

从而，解得，因此时成立.

综上，满足题目条件的的取值范围是.