Question

【题目】如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，母线长为

（1）求该圆锥的体积；

（2）已知为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，且，为线段的中点，求异面直线与所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）由题可知，，，根据勾股定理求得，则圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算，即可求出圆锥的体积；

（2）法一：联结，由是的中点，为线段的中点，根据三角形中位线的性质可得出，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，根据条件得，，求得，则为等边三角形，即，即可得出结果；

法二：以为坐标原点，以为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求得，，根据空间向量法求异面直线的夹角公式，即可求得异面直线与所成的角.

（1）解：如图，由题意得，，

在中，，

即该圆锥的高，

由圆锥的体积公式得：，

即该圆锥的体积为.

（2）解法1：联结，如图所示，

由于为圆锥底面的直径，是的中点，

而为线段的中点，则，

所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，

因为，，

所以，，

在中，，

所以为等边三角形，即，

因此异面直线与所成的角的大小为.

解法2：以为坐标原点，以为轴、轴、轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，，

因为为线段的中点，得，

所以，，

设异面直线与所成的角为，向量与的夹角为，

则，

又，所以，

即异面直线与所成的角的大小为.