题目内容
12．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于点E，交AB于点F．求证：AB•DF=AD•BD．
分析 作出四边形ABCD的外接圆，利用圆的性质证明△ABD∽△ADF，得出结论．
解答 
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°
∴四边形ABCD圆内接四边形，不妨设四边形ABCD的外接圆为圆O，则AC为圆O的直径．
延长DF交圆O于G，
∵DF⊥AC，∴$\widehat{AG}=\widehat{AD}$，∴∠ABD=∠ADG，
又∵∠BAD为公共角．
∴△ABD∽△ADF．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DF}$，
∴AB•DF=AD•BD．
点评 本题考查了圆的性质，相似三角形，属于中档题．
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