Question

16．数列{a_n}的通项公式为${a_n}={n^2}$，前n项和记为S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃．
（2）用数学归纳法证明：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件通过n=1，2，3求解S₁，S₂，S₃．即可．
（2）利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答 解：（1）数列{a_n}的通项公式为${a_n}={n^2}$，前n项和记为S_n．
n=1时，S₁=a₁=1，
n=2时，a₂=4，S₁=a₁+a₂=5；
n=2时，a₃=9，S₁=a₁+a₂+a₃=14；
（2）证明：①当n=1时，S₁=$\frac{1×2×3}{6}$=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即：${S}_{k}=\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$成立，
则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}+（k+1）^{2}$
=$\frac{k（k+1）（2k+1）+6（k+1）^{2}}{6}$=$\frac{（k+1）（2{k}^{2}+7k+6）}{6}$=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$，
这就是说n=k+1时等式也成立，
由①②可知：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$恒成立．

点评 本题考查数学归纳法的应用，数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．