Question

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-2，0），（

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，0），如图所示．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数图象以及函数的极小值，建立方程关系即可求函数的单调区间和极值；
（2）求出函数f（x）在x∈[-3，3]上的最小值即可得到结论．

解答： 解（1）∵f′(x)=3ax2+2bx+c，且y=f′(x)的图象经过点(-2，0)，(

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，0)，
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2× 2 3 = c 3a

⇒

b=2a c=-4a

，
∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由图象可知函数y=f(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，

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)上单调递增，在(

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，+∞)上单调递减，由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8，解得a=-1，
∴f（x）=-x³-2x²+4x由（1）得f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x+2）（x-2），
∴f′(x)=0，则x=-2或x=

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x	（-∞，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	-8	单调递增	40 27	单调递减

∴函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-2)和( 2 3 ，+∞)，单调递增在区间是(-2， 2 3 )， 极小值是-8，极大值是 40 27 ．

（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f(x)min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f(x)在[-3，-2)上单调递减，在(-2，

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)上单调递增，在(

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，3]上单调递减且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8，
∴f（x）_min=f（3）=-33-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

点评：本题主要考查函数单调，极值和导数之间的关系，利用数形结合或者方程思想是解决本题的关键．