Question

在下列四个命题中：
①函数y=f（2x-1）的定义域为（-1，1），则f（x+1）的定义域为（-4，0）；
②函数f（x）=lnx+4x-13的零点一定位于区间（2，3）；
③函数f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）的增区间是（-∞，

1

2

]；
④函数f（x）是定义域为[-1，1]的偶函数，且在[0，1]上递增，而且f（x-1）＜f（2x-1），则x的取值范围为（

2

3

，1]．
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用函数的定义域的定义，结合一次不等式的解法，即可判断①；
运用函数的零点存在定理，即可判断函数的零点所在区间，即可判断②；
运用复合函数的单调性：同增异减，由对数函数和二次函数的单调性，即可得到递增区间，即可判断③；
运用偶函数的性质有f（x-1）＜f（2x-1）即为f（|x-1|）＜f（|2x-1|），结合单调性，解不等式即可得到x的范围，即可判断④．

解答： 解：对于①，函数y=f（2x-1）的定义域为（-1，1），即有-3＜2x-1＜1，即为f（x）的定义域，
则对于y=f（x+1）有-3＜x+1＜1，解得-4＜x＜0，即f（x+1）的定义域为（-4，0），则①对；
对于②，函数f（x）=lnx+4x-13在x＞0上递增，且f（2）=ln2-5＜0，f（3）=ln3-1＞0，
由零点存在定理可得f（x）的零点介于区间（2，3），则②对；
对于③，令t=2x²-3x+1（x＞1或x＜

1

2

），则y=log

1

2

t，由于t在（-∞，

1

2

）上递减，y在t＞0上递减，
则函数f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）在（-∞，

1

2

）上递增，则③错；
对于④，由于函数f（x）是定义域为[-1，1]的偶函数，且在[0，1]上递增，
则y=f（|x|）在{0，1]递增，f（x-1）＜f（2x-1）即为f（|x-1|）＜f（|2x-1|），
即有

0≤|x-1|≤1 0≤|2x-1|≤1 |x-1|＜|2x-1|

，即

0≤x≤2 0≤x≤1 x＞ 2 3 或x＜0

，解得

2

3

＜x≤1．则④对．
故答案为：①②④．

点评：本题考查函数的定义域的求法、函数的零点的判断和函数的单调区间的求法，考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题和易错题．