Question

11．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$即可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，进行数量积的运算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$，从而便可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$1+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．