Question

若函数f（x）=log₂x（1≤x≤16），则F（x）=f²（x）-f（x²）的值域是

 

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Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知，首先应满足1≤x≤16且1≤x²≤16，得1≤x≤4．即得到函数F（x）=f²（x）-f（x²）的定义域，求出函数F（x）的解析式后令log₂x=t换元，配方求得函数F（x）的值域．

解答： 解：∵f（x）=log₂x（1≤x≤16），
由1≤x²≤16，得-4≤x≤-1或1≤x≤4．
∴F（x）=f²（x）-f（x²）的定义域为[1，4]．
则F（x）=（log₂x）²-log₂x²=（log₂x）²-2log₂x，
令log₂x=t∈[0，2]，
则F（x）=t²-2t=（t-1）²-1，
当t∈[0，2]时，值域为[-1，0]．
故答案为：[-1，0]．

点评：本题考查了函数解析式的求法，函数的值域，关键是求出函数的定义域，是中档题也是易错题．