Question

设函数f(x)=

m

•

n

，其中向量

m

=(2cosx，1)，

n

=(cosx，   

3

sin2x)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积通过二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期，借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；
（2）通过f（A）=2，利用三角形的内角，求出A的值，利用△ABC的面积为

3

2

，求出c的值，通过正弦定理求

b+c

sinB+sinC

的值即可．

解答：解：（1）f(x)=

m

•

n

=2cos2x+

3

sin2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1．
∴函数f(x)的最小正周期T=

2π

2

=π．---------------（2分）
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ．∴函数f(x)的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．--------------（4分）
（2）由f(A)=2，得2sin(2A+

π

6

)+1=2，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，在△ABC中，∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

π

6

+2π．∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．-（6分）又∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

2

，解得c=2，
∴在△ABC中，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=3，∴a=

3

．---------8
由

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

，得b=2sinB，c=2sinC，∴

b+c

sinB+sinC

=2．--（10分）

点评：本题是中档题，通过向量数量积考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，正弦定理的应用三角形的面积公式的应用，考查计算能力，常考题型．