Question

（2012•青岛二模）已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，

3π

2

]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)+sin(2A-

π

6

)=1，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求边a的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；
（Ⅱ）由f(A)+sin(2A-

π

6

)=1，可得A=

π

3

，利用△ABC的面积为2

3

，结合余弦定理，即可求边a的长．

解答：解：（Ⅰ）由题意得f(x)=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin(2x+

π

6

)…（3分）
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∵x∈[0，

3π

2

]，∴

π

6

≤x≤

2π

3

，或

7π

6

≤x≤

3π

2

所以函数f（x）在[0，

3π

2

]上的单调递增区间为[

π

6

，

2π

3

]，[

7π

6

，

3π

2

]…（6分）
（Ⅱ）由f(A)+sin(2A-

π

6

)=1得：

1

2

-sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)=1
化简得：cos2A=-

1

2

又因为0＜A＜

π

2

，解得：A=

π

3

…（9分）
由题意知：S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8，
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=49-2×8×(1+

1

2

)=25
故所求边a的长为5．…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．