Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)．
（1）设函数f(x)=(

m

+

n

)•

m

，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，

3

c=2asin(A+B)，对于（1）中的函数f（x），求f(B+

π

8

)的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐标运算、数量积运算，以及倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的增区间得：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，求出x的范围表示成区间的形式即可；
（2）由正弦定理对所给的式子进行转化：

3

sinC=2sinAsin(A+B)，再由内角和定理和特殊角的正弦求出A，再由内角和定理表示出C，根据内角是锐角求出B的范围，再化简f(B+

π

8

)，求出2B的范围，根据正弦函数的性质求出f(B+

π

8

)的范围．

解答：解：（1）由题意得，(

m

+

n

)•

m

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-2
=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

3

2

，
则f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

3

2

，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得，
-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ（k∈z），
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（k∈z），
（2）∵

3

c=2asin(A+B)
∴由正弦定理得，

3

sinC=2sinAsin(A+B)，
∵A+B+C=π，∴A+B=π-C代入上式得，sinA=

3

2

，
∵△ABC是锐角三角形，∴A=

π

3

，
∴c=π-

π

3

-B=

2π

3

-B，
则0＜

2π

3

-B＜

π

2

，且B是锐角，
解得

π

6

＜B＜

π

2

        ①，
由（1）得，f(B+

π

8

)=

2

2

sin[2(B+

π

8

)-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

，
由①得，

π

3

＜2B＜π，
当2B=

π

2

时，f(B+

π

8

)取得最大值是

2 -3

2

，
当2B=π时，f(B+

π

8

)取得最小值是-

3

2

，
故所求的取值范围是（-

3

2

，

2 -3

2

]．

点评：本题考查了正弦函数的单调性、最值，正弦定理和内角和定理，向量的坐标运算、数量积运算，以及倍角公式、两角差的正弦公式的应用，关键是熟练掌握公式并会运用，考查整体思考和计算能力，是向量与三角函数结合题，常考的一种题型．