Question

（2009•长宁区一模）已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数 f（x）的最小正周期及x∈[0，

π

2

]时的最大值；
（2）把函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，求φ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的定义，将式子f(x)=

m

•

n

用坐标展开得：f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x，利用降幂公式和辅助角公式，化简合并为2sin(2x+

π

6

)，最后利用函数y=Asin（ωx+φ）的性质得到函数的最小正周期和最大值；
（2）向左平移φ（φ＞0）个单位，得到y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)的图象，所得函数为奇函数，利用f（0）=0，可得φ的最小值．

解答：解：
（1）f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x（2分）
=2sin(2x+

π

6

)．              （3分）
最小正周期为T=

2π

2

=π．    （5分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
因此当2x+

π

6

=

π

2

时f_max=2．（8分）
（2）图象平移后解析式为y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)
y=2sin(2x+2?+

π

6

)为奇函数，（11分）
∴f（0）=0，即2?+

π

6

=kπ，(k∈Z)（14分）
∵φ＞0，
∴k=1时φ最小值为

5π

12

．                       （16分）

点评：本题是一道综合题，着重考查了向量的数量积公式和三角函数的图象与性质，属于中档题．熟练运用三角函数的降幂公式和辅助角公式，熟悉函数Asin（ωx+φ）的图象与性质，是解决好本题的关键．