Question

【题目】点A、B、C是抛物线y2=4x上不同的三点，若点F（1，0）满足 ，则△ABF面积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），直线AB与x轴交于点D（m，0），
∵ ，∴m=﹣
∵点F（1，0）满足 ，
∴点F是△ABC重心，
∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，
∴y12+y22=12﹣y32 ， y1+y2=﹣y3 ，
∴2y1y2=（y1+y2）2﹣（y12+y22）=2y32﹣12
∴S△ABF2= （1+ ）2（y1﹣y2）2= （﹣ + y32）2（24﹣3y32）
令y32=t≥0，y=（﹣2+t）2（8﹣t）
令y′=0，则t1=2，t2=6．
当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y= ，当t=6时y= ，
∴ymax= ．
∴△ABF面积的最大值为 ．
故选：A．