Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，由此能求出an=(

1

4

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）由b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）=3log 

1

2

（

1

4

）ⁿ=6n，得b_n=6n-2，由此能证明数列{b_n}是首项为4，公差为6的等差数列．
（Ⅲ）由c_n=a_n•b_n=（

1

4

）ⁿ•（6n-2），利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴an=(

1

4

)n，n∈N^*．
（Ⅱ）证明：∵b_n+2=3log

1

2

a_n（n∈N^*）=3log 

1

2

（

1

4

）ⁿ=6n，
∴b_n=6n-2，
∴b₁=4，n≥2时，b_n-b_n-1=6，
∴数列{b_n}是首项为4，公差为6的等差数列．
（Ⅲ）解：c_n=a_n•b_n=（

1

4

）ⁿ•（6n-2），
∴Sn=4×

1

4

+10×(

1

4

)2+16×(

1

4

)3+…+(6n-2)×(

1

4

)n，①

1

4

Sn=4×(

1

4

)2+10×(

1

4

)3+16×(

1

4

)4+…+（6n-2）×(

1

4

)n+1，②
①-②，得：

3

4

Sn=1+6[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+(

1

4

)n]-（6n-2）×(

1

4

)n+1
=1+6×

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-（6n-2）×(

1

4

)n+1
=3-

2

4n-1

-（6n-2）×(

1

4

)n+1，
∴S_n=4-

2

3

•

1

4n-2

-

6n-2

3

•

1

4n

．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查数列{b_n}是等差数列的证明，考查数列{c_n}的前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．