Question

如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于

1. A.
   8π
2. B.
   π
3. C.
   9π
4. D.
   π

Answer 1

B
分析：由题意可得：正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．设球心为O，半径为R，△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，所以GA=．在△OAG中由勾股定理得：R²=．进而得到答案．
解答：因为正三棱柱ABC-DEF的左视图是边长为的正方形，
所以正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．
设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，
GA是正三角形ABC的高的，
所以GA=．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=．
∴球的表面积为4πR²=．
故选B．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义，在球的内接多面体中一般容易出现直角三角形，进而利用勾股定理解决问题即可．