Question

如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为

3

的正方形，则它的外接球的表面积等于（　　）

• A、8π
• B、

  25

  3

  π
• C、9π
• D、

  28

  3

  π

Answer 1

分析：由题意可得：正三棱柱的高是

3

，底面正三角的高也是

3

．设球心为O，半径为R，△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=

3

2

，所以GA=

2 3

3

．在△OAG中由勾股定理得：R²=

25

12

．进而得到答案．

解答：解：因为正三棱柱ABC-DEF的左视图是边长为

3

的正方形，
所以正三棱柱的高是

3

，底面正三角的高也是

3

．
设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=

3

2

，
GA是正三角形ABC的高的

2

3

，
所以GA=

2 3

3

．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=

25

12

．
∴球的表面积为4πR²=

25π

3

．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义，在球的内接多面体中一般容易出现直角三角形，进而利用勾股定理解决问题即可．