Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁―ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A₁B₁的中点.

   （1）求证：面AC₁M⊥AA₁B₁B；

   （2）求证：B₁C∥平面AC₁M.

Answer 1

解：由三视图可知

三棱柱A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，

       且∠ACB=90°.

   （1）∵A₁C₁=B₁C₁，M为A₁B₁中点，

       ∴C₁M⊥A₁B₁，

       又∵面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁BA，

       面A₁B₁C₁∩面A₁B₁BA=A₁B₁，

       ∴C₁M⊥面A₁B₁BA，

       又∵C₁M面AC₁M，

       ∴面AC₁M⊥面A₁B₁BA.

   （2）连结A₁C，设A₁C∩AC₁=0，连结MO，

       ∵A₁O=CO，A₁M=B₁M，

       ∴MO∥B₁C，

       又∵MO面AC₁M，B₁C面AC₁M，

       ∴B₁C∥面AC₁M.