Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M式A₁B₁的中点．
（I）求证B1C∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

Answer 1

分析：由题可知，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，要证B1C∥平面AC₁M，利用线线平行，要求sinθ利用平面法向量，求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，
侧棱长为2，底面为等腰直角三角形，AC=BC=1如图建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），C₁（0，0，2），A（1，0，0），B₁（0，1，2），
A₁（1，0，2），∵M为A₁B₁为中点，∴M(

1

2

，

1

2

，2)

CE1

=(0，1，2)， 

AM

=(-

1

2

，

1

2

，2)， 

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)
∴

CB1

=

AM

+

C1M

∴

CB1

∥面AC₁M，又因为CB₁?面AC₁M
∴CB₁∥面AC₁M
（Ⅱ）设平面AC₁M的一个法向量为

m

=(x，y，z)

m • C1M =(x，y，z)•( 1 2 1 2 ，0)= 1 2 x+ 1 2 y=0 m • AM =(x，y，z)•(- 1 2 1 2 ，2)=- 1 2 x+ 1 2 y+2z=0

，

令z=1，则x=2，y=-2，∴

m

=(2，-2，1)
又

AC

=(-1，0，0)
则sinB-|cos＜

m

，

AC

＞|=|

m • AC

| m | •| AC |

|=

2

3

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对空间直角坐标系的使用，是中档题．