Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值；
（3）求三棱锥M-A₁CB的体积．

Answer 1

分析：（1）根据△BA₁B₁是等边三角形，BM⊥A₁B₁ ，面ABB₁A₁垂直于底面，可得BM⊥面 A₁B₁C₁ ，从而得到BM⊥面ABC，
BM⊥AC．
（2）作MN⊥B₁C₁ ，证明∠MNB为二面角B-B₁C₁-A₁的平面角，由Rt△MNB中，tan∠MNB=

BM

MN

，运算求得结果．
（3）三棱锥M-A₁CB的体积 V_M-A1CB=V_C-A1MB=

1

3

×(

1

2

• A1M•BM)•h，把点C到面A₁BM的距离h即等边
三角形ABC的高

3

2

a，代入公式运算求得结果．

解答：解：（1）∵侧面ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，
∴△BA₁B₁是等边三角形，BM⊥A₁B₁ ．
再由面ABB₁A₁垂直于底面，可得BM⊥面 A₁B₁C₁ ．
故BM⊥面ABC，∴BM⊥AC．
（2）作MN⊥B₁C₁ ，由三垂线定理可得BN⊥B₁C₁ ，故∠MNB为二面角B-B₁C₁-A₁的平面角．
MN=BMsin60°=

a

2

×

3

2

=

3

4

a，BM=BB₁sin60°=

3

2

a．
Rt△MNB中，tan∠MNB=

BM

MN

=2．
所求二面角的正切值是2．
（3）三棱锥M-A₁CB的体积 V_M-A1CB=V_C-A1MB=

1

3

×(

1

2

• A1M•BM)•h，
而h是点C到面A₁BM的距离，即等边三角形ABC的高为

3

2

a，
∴三棱锥M-A₁CB的体积为

1

3

×(

1

2

• 

a

2

•

3 a

2

)•

3

2

a=

1

16

a3．

点评：本题考查证明线线垂直的方法，求二面角的大小的方法，求棱锥的体积，体现了转化的数学思想，找出二面角的平面角并
求出棱锥的高，是解题的关键和难点．