Question

4．已知实数a、b常数，若函数y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1的图象在切点（0，$\frac{1}{2}$）处的切线方程为3x+4y-2=0，y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1与y=k（x-1）³的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．

解答 解：当x＜1时，函数y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1=$\frac{a（1-x）}{x+2}$+be^2x+1，
则函数的导数f′（x）=$\frac{-3a}{（x+2）^{2}}$+2be^2x+1，
∵若函数y=y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1的图象在切点（0，$\frac{1}{2}$）处的切线方程为3x+4y-2=0，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$，且f′（0）=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{2}$a+be=$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$a+2be=-$\frac{3}{4}$，得a=1，b=0，
即y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x+1=$\frac{|x-1|}{x+2}$，
由$\frac{|x-1|}{x+2}$=k（x-1）³得当x=1时，方程成立，
当x≠1时，若x＞1得$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若x＜1得-$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若k=0，则两个方程无解，
若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：
此时满足当x＞1时，有一个交点，
当x＜1时，有一个交点，
此时满足两个函数共有3个交点．
若k＜0时，作出对应函数的图象如图：
此时满足当x＞1时，没有交点，
当x＜1时，则需要有2个交点，
由-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
得k（x+2）（x-1）²+1=0，x＜1，
设g（x）=k（x+2）（x-1）²+1，
则g′（x）=3k（x-1）（x+1），x＜1，k＜0，
由g′（x）=0，x=-1，
当x＜-1时，g′（x）＜0，
当-1＜x＜1时，g′（x）＞0，
即当x=-1函数取得极小值g（-1）=4k+1，
要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，
则极小值g（-1）=4k+1＜0，得k＜-$\frac{1}{4}$，
此时满足两个函数共有3个交点．
综上k的取值范围是k＞0或k＜0，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合作出两个函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．