Question

【题目】棋盘上标有第0，1，2，，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为.

（1）求的值；

（2）证明：；

（3）求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此 .

（2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有

，

即，

也即.

（3）由（2）知数列是首项为 ，公比为的等比数列.因此有.由此得到

.

由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有.