Question

【题目】如图，的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图①，不妨设，的内切圆切、、于、、．

图①

过作内切圆的直径，过作的切线分别交、于、，则．

由于是的旁切圆，，因，，

所以有．

延长交于，则，因此，

故是的中位线，所以，

因四边形为平行四边形，所以∽，相似比为．

同理，∽，相似比为．

又注意∽，∽，相似比均为，

既然有，所以，

因此，，即所证结论成立．

附注 在几何题中用到三角形内切圆的一个基本性质．

如图②，在中，内切圆切于，

设是的直径，若交于，则．

证明：过作，点、分别在、上．

设的半径为，，，，，，

连结、、、，由于、分别平分一对互补角、，

所以，且∽，则，．

同理∽，则，，

所以，则． ①

又由，得，所以， ②

根据①②式得，，所以，即，

由此得，，即，也就是．（同时也有．）