Question

【题目】已知点是椭圆上任一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且，若直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用题意结合距离公式整理计算即可求得椭圆方程；

（2）首先求得点的坐标，然后结合直线的斜率即可求得直线方程；

（3）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和题意整理计算即可证得直线过定点．

解：（1）设，则，，

，

化简得：，

椭圆的方程为：．

（2），，

，，

，，

代入椭圆方程得：，

，或，代入得，（舍去），或，

，据此可得：，，

（3）直线恒过定点，证明如下：

由于，所以关于轴的对称点在直线上．

设，，，，，

设直线方程：，代入椭圆方程，

得：，故：

，

则直线的方程为：，

令，得：，

，，则：

．

直线总经过定点．