Question

如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁(－c,0)，F₂(c,0)．已知点M在椭圆上，

且点M到两焦点距离之和为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求的取值范围．

Answer 1

解　(1)∵2a＝4，∴a＝2，

又M在椭圆上，

∴＋＝1，解得b²＝2，

∴所求椭圆方程＋＝1.

(2)由题意知k_MO＝，∴k_AB＝－.

设直线AB的方程为y＝－x＋m，

联立方程组

消去y，得13x²－4mx＋2m²－4＝0，

Δ＝(－4m)²－4×13×(2m²－4)＝8(12m²－13m²＋26)＞0，

∴m²＜26，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由根与系数的关系得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

则＝x₁x₂＋y₁y₂＝7x₁x₂－m(x₁＋x₂)＋m²＝∈.

∴的取值范围是.